线代里面n阶方阵满秩的等价条件为方阵是可逆阵，这个结论是怎么来的呀

在线性代数中，一个n阶方阵满秩的等价条件是方阵是可逆的，这个结论可以从以下几个方面来理解：

1. 定义角度：

满秩：一个方阵A是满秩的，如果它的秩等于它的阶数n。这意味着A的列向量（或行向量）是线性无关的，且能够张成整个n维空间。

可逆：一个方阵A是可逆的，如果存在另一个方阵B，使得AB = BA = I_n，其中I_n是n阶单位矩阵。

2. 秩和可逆性：

如果一个方阵A是满秩的，那么它的秩为n。根据秩的定义，这意味着A的列向量（或行向量）构成了n维空间的一个基，因此A的列空间（或行空间）是整个n维空间。

如果A的列空间（或行空间）是整个n维空间，那么对于任意n维向量b，都存在一个向量x，使得Ax = b。这表明线性方程组Ax = b对于任意b都有唯一解，因此A是可逆的。

3. 逆矩阵的存在性：

如果A是可逆的，那么根据定义，存在一个矩阵B（即A的逆矩阵），使得AB = BA = I_n。这意味着A的列向量（或行向量）构成了n维空间的一个基，因此A是满秩的。

4. 等价条件：

由于满秩和可逆这两个条件是相互蕴含的，我们可以得出结论：一个n阶方阵满秩的等价条件是它是可逆的。

总结来说，这个结论是通过定义、秩与可逆性的关系，以及逆矩阵的存在性来证明的。这两个条件在数学上是等价的，因此可以互换使用。