x平方减a是增函数

要证明函数 ( f(x) = x2 a ) 是增函数，我们需要证明对于任意的 ( x_1 < x_2 )，都有 ( f(x_1) < f(x_2) )。

计算 ( f(x_1) ) 和 ( f(x_2) ) 的差值：

[ f(x_1) f(x_2) = (x_12 a) (x_22 a) ]

[ = x_12 x_22 ]

[ = (x_1 + x_2)(x_1 x_2) ]

由于 ( x_1 < x_2 )，因此 ( x_1 x_2 < 0 )。同时，由于 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 都是实数，所以 ( x_1 + x_2 ) 是一个实数。

现在，我们需要考虑 ( x_1 + x_2 ) 的符号。如果 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 都是正数或者都是负数，那么 ( x_1 + x_2 ) 将是正数。如果 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 一个是正数一个是负数，那么 ( x_1 + x_2 ) 将是负数。

1. 如果 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 都是正数或都是负数，那么 ( (x_1 + x_2)(x_1 x_2) ) 是负数乘以负数，结果是正数，所以 ( f(x_1) f(x_2) > 0 )，即 ( f(x_1) < f(x_2) )。

2. 如果 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 一个是正数一个是负数，那么 ( (x_1 + x_2)(x_1 x_2) ) 是负数乘以正数，结果是负数，所以 ( f(x_1) f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x_2) )。

因此，无论 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 的符号如何，只要 ( x_1 < x_2 )，我们都有 ( f(x_1) < f(x_2) )。这证明了函数 ( f(x) = x2 a ) 是一个增函数。