矩阵的秩（rank）定义为矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目。在数学中，秩r是一个矩阵的行简化阶梯形矩阵（row echelon form）中非零行的数量。
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对于一个秩为r的矩阵，我们可以将其分解为两个子矩阵：
1. 一个r×r的子矩阵，其秩为r，且是可逆的（即有逆矩阵）。
2. 一个(r×n)的子矩阵，其中n是矩阵的列数。
当我们将原矩阵进行行简化阶梯形变换时，上述的r×r子矩阵会变成一个上三角矩阵，并且它的非零行仍然是线性无关的。因此，这个子矩阵的秩仍然是r。
现在，考虑原矩阵的其余部分，即(n-r)×r的子矩阵。这部分矩阵的秩最多为r，因为它的列数不足以构成更多线性无关的列。由于原矩阵的秩是r，所以(n-r)×r的子矩阵的秩必然小于或等于r，且由于它的列数是n-r，所以它的秩必然小于n-r。
根据线性代数中的基本定理，对于任何矩阵，其秩加上其零空间的维数等于列数。即：
[ r + text{零空间的维数
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