为什么正交矩阵是满秩

正交矩阵是满秩的，这是因为正交矩阵的性质和矩阵的秩紧密相关。以下是一些关键点来说明为什么正交矩阵是满秩的：

1. 定义：一个矩阵 ( A ) 是正交矩阵，如果它的转置矩阵 ( AT ) 和它本身 ( A ) 的乘积等于单位矩阵 ( I )，即 ( AAT = ATA = I )。

2. 单位矩阵的特性：单位矩阵 ( I ) 是一个方阵，它的秩是 ( n )（其中 ( n ) 是矩阵的阶数），并且它的所有行（或列）都是线性无关的。

3. 正交矩阵与单位矩阵的关系：因为正交矩阵 ( A ) 与其转置 ( AT ) 相乘等于单位矩阵 ( I )，这意味着 ( A ) 的列向量（或者行向量）必须与 ( AT ) 的行向量（或者列向量）正交，并且每个列向量（或行向量）的长度为1。

4. 线性无关性：由于 ( A ) 的列向量是单位向量的线性组合，并且它们之间正交，因此这些列向量是线性无关的。这意味着没有一组非零系数能够使得这些列向量的线性组合为零向量。

5. 秩的定义：矩阵的秩是矩阵中线性无关行（或列）的最大数目。因为正交矩阵的列向量是线性无关的，所以正交矩阵的秩等于其阶数。

综上所述，由于正交矩阵的列向量是线性无关的，所以正交矩阵的秩等于其阶数，因此正交矩阵是满秩的。