三角形的重心,垂心,外心,内心的定义及性质分别是什么

三角形是平面几何中最基本的图形之一，以下分别介绍三角形的重心、垂心、外心和内心的定义及性质：

1. 重心（Centroid）：

定义：重心是三角形三条中线的交点。中线是连接三角形顶点和对边中点的线段。

性质：

重心将每条中线分为两段，其中一段是另一段的2倍。

重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1。

重心是三角形内所有质点的平均位置。

2. 垂心（Orthocenter）：

定义：垂心是三角形三条高线的交点。高线是从三角形顶点垂直于对边的线段。

性质：

垂心到三角形顶点的距离等于该顶点到对边的距离。

在直角三角形中，垂心位于直角顶点。

垂心与重心、外心、内心不重合，除非三角形是直角三角形。

3. 外心（Circumcenter）：

定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点。垂直平分线是垂直于边并且通过边的中点的线段。

性质：

外心到三角形三个顶点的距离相等，即外心是三角形外接圆的圆心。

外心是三角形外接圆上所有点的等距离点。

在直角三角形中，外心位于斜边的中点。

4. 内心（Incenter）：

定义：内心是三角形三条角平分线的交点。角平分线是从三角形顶点出发，平分该顶点对应角的线段。

性质：

内心到三角形三边的距离相等，即内心是三角形内切圆的圆心。

内心是三角形内切圆上所有点的等距离点。

内心是三角形面积最大的内接圆的圆心。

这些几何中心在解决与三角形相关的问题时非常有用，例如计算三角形的面积、确定三角形的形状等。